大きなプラスとマイナスのグーを制御可能

Oct 15, 2023

Scientific Reports volume 13、記事番号: 3789 (2023) この記事を引用

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私たちは、2 枚のガラス スラブで囲まれた二重 \(\Lambda\) 原子媒質を含む空洞からの反射光ビームのグース ヘンヘン シフト (GHS) を研究します。 コヒーレントとインコヒーレントの両方の場の両方を原子媒体に適用すると、GHS の正と負の制御可能性が得られます。 システムのパラメータの特定の値では、GHS の振幅は、入射光ビームの波長の \(\sim 10^{3}\) 倍のオーダーで大きくなります。 これらの大きなシフトは、原子媒質の広範囲のパラメータで複数の入射角で見られます。

グース・ヘンヘンシフト (GHS) は、入射媒体の屈折率よりも小さい屈折率を持つ媒体に光ビームが入射するときに発生する現象です。 臨界角より大きい入射角の場合、入射ビームは 2 番目の媒質内をある程度の距離だけ透過し 1、2、3、4、5、6、最初の (入射) 媒質に反射して戻ります。反射ビームは横方向になります。入射ビームが第 2 媒体に入射した点から界面でシフトします。 この横方向の変位は、1947 年の Goos と Hänchen による実験的実証にちなんで、Goos-Hänchen シフトと呼ばれています 7,8。 Artmann9 によって開発された固定相法など、GHS を計算するためのいくつかの理論的提案が提案されています。 エネルギー保存の概念に基づく別の方法は、GHS10 を理論的に計算するために Renard によって導入されました。

GHS を測定および制御するために、さまざまな材料を使用した多くの構造および設計が提案されています。 たとえば、低吸収媒体11、12、13およびゼロに近いイプシロンスラブ14、15におけるGHSの研究。 また、欠陥のあるフォトニック結晶と正常なフォトニック結晶の配置も異なります16、17、18。 GHS の研究のさらなる例には、異なる人工媒体の 2 層の使用 19、20、21、コロイド状磁性流体 22 およびグラフェン層 23、24 を含むキャビティの使用がすべて報告されています。 より最近では、入射光の波長の 4 倍に達する振幅を持つ GHS が、周期格子層を含む構造で得られています 25、26。 これまでのすべての例に加えて、GHS は一次元フォトニック結晶スラブ内の透過ビームでも実験的に観察されました 27。

一方、コヒーレント場などの外部パラメータによって媒体の光学特性を変更できるさまざまな原子媒体が提案され、さまざまな目的に適用されています28、29、30、31、32、33。 GHS を操作および制御するためにこのような原子媒体を使用することが提案されています 34、35、36、37、38。 In34 では、GHS をコヒーレントに制御するために、駆動される 2 レベル システムが 3 層キャビティで使用されます。 37,39 では、同じ空洞構造を使用し、\(\Lambda\) 原子スキームを含む GHS が研究されており、正と負の横方向シフトが報告されています。 さらに、二重 \(\Lambda\) 原子系 43,44 を含む異なる 4 レベルの原子構造 40,41,42 が、さまざまな技術とともに研究されています。

このレポートでは、2 つのプローブ相互作用を持つ二重 \(\Lambda\) 原子系を使用して \(10^3 \lambda\) のオーダーの大きな GHS を生成できることを示します。 二重 \(\Lambda\) スキームは、吸収が制限された \(\Lambda\) 原子スキームよりも大きな制御可能な分散機能を備えています 45。 この優れた制御性により、double-\(\Lambda\) スキームは非常に大規模な GHS を生成するための優れた候補となります。 したがって、中間層が二重 \(\Lambda\) 原子で満たされている 3 つの層を含む空洞内の GHS に対するさまざまなパラメーターの影響を研究します。

周波数 \(\omega _{p}\) の TE 偏光場が、真空から 3 層の非磁性材料からなる空洞に角度 \(\theta\) で入射すると考えます。 図1aに示すように、最初と最後の層は同一であり、厚さは \(d_1\) ですが、中間層の厚さは \(d_2\) です。 エッジ層とキャビティ層の誘電率は、それぞれ \(\epsilon _1\) と \(\epsilon _2\) です。 二重 \(\Lambda\) 原子媒体は 2 番目の層に配置されます。 図 1b に示す原子系には 4 つのレベル (\(|a\rangle\)、\(|b\rangle\)、\(|c\rangle\)、\(|d\rangle\)) があります。ここで、トランジション \(|a\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|d\rangle\) と \(|b\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|d\rangle\) が結合されていますそれぞれ、ラビ周波数 \(\Omega _p^-\) と \(\Omega _p^+\) の 2 つのプローブ フィールドによって測定されます。 2 つの強力なコヒーレント フィールドが遷移 \(|a\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|c\rangle\) と \(|b\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|c\ rangle\) はそれぞれ、ラビ周波数 \(\Omega _\mu ^-\) と \(\Omega _\mu ^+\) です。 また、システムは 2 つのインコヒーレントな場によって状態 \(|d\rangle\) から \(|a \rangle\) および \(|b \rangle\) まで同じレート r で励起されます。 二重\(\Lambda\)系は、例えばルビジウムとナトリウムに存在します46,47。 \({}^{85}\)Rb の D\(_{2}\) 遷移を選択します。ここで、状態 \(|a\rangle\) と \(|b\rangle\) は超微細レベルに対応します。それぞれ \(F=4, m_{F} = 0\) と \(F=3, m_{F} = 0\) です。 下位レベル \(|c \rangle\) と \(|d \rangle\) は、磁気サブレベル \(m_{F} = +1\) と \(m_ {F} = -1\) となります。 したがって、左右の円偏波場 (\(\sigma ^{\pm }\)) がプローブと駆動場の両方に使用されます。 すべての異なる場は空洞全体を通じて均一であると仮定されます。

双極子および回転波近似における二重 \(\Lambda\) 原子系 45 のハミルトニアンは次のように書かれます。

ここで、 \(\omega _{a}, \omega _{b}, \omega _{c},\) および \(\omega _{d}\) は、エネルギー準位 \(|a\rangle) の周波数です。 、 |b\rangle 、 |c\rangle 、\)、および \(|d\rangle\) です。 2 つのプローブ場のラビ周波数は \(\Omega _p^-\) と \(\Omega _p^+\) ですが、駆動場のラビ周波数は \(\Omega _\mu ^-\) と \(\Omega _\mu ^-\) です。 \(\オメガ _\mu ^+\)。 式の離調 (1) は \(\Delta _{1} = \omega _{ad} - \omega _{p}\)、\(\Delta _{2} = \omega _{bd} - \omega のように定義されます_{p}\)、\(\Delta _{3} = \omega _{bc} - \omega _{\mu }\)、および \(\Delta _{4} = \omega _{ac} - \omega _{\mu }\)、ここで 2 つのプローブ フィールドは同じ周波数 \(\omega _{p}\) を持ち、2 つの駆動フィールドは同じ周波数 \(\omega _\mu\ ）。 密度行列要素の運動方程式は、マスター方程式 45、48 とハミルトニアン方程式を使用して導出できます。 (1)。 システムの弱いプローブを考慮すると、これらの運動方程式は定常状態で一次まで解くことができます。 中間層の誘電率 \(\varepsilon _{2}\) は、原子系の磁化率の観点から \(\varepsilon _{2} = 1+ \chi\) として定義されます。 系の誘電感受率には \(\chi _{ad}\) と \(\chi _{bd}\) の 2 つの部分があり、これらは原子媒質との二重プローブ相互作用から生じます。 したがって、感受率は \(\chi = \chi _{ad} + \chi _{bd}\) として表され、これら 2 つの部分は次のように与えられます。

そして

ここで、 \(D_{bd}=\gamma _{bd}-i(\Delta +\omega _{ab}/2)\)、\(D_{ad}=\gamma _{ad}-i(\Delta) -\omega _{ab}/2)\)、\(D_{cd}=\gamma _{cd}-i(\Delta _\mu +\Delta )\)、\(D_{bc}=\gamma _{bc}+i(\Delta _\mu -\omega _{ab}/2)\) および \(D_{ac}=\gamma _{ac}+i(\Delta _\mu +\omega _ {ab}/2)\)。

(a) 厚さ \(d_2\) のキャビティ内を囲む同じ厚さ \(d_1\) の 2 枚のガラス スラブで構成される 3 層キャビティの構成。 光ビームは入射角 \(\theta\) でキャビティに入射し、反射ビームは y 軸上で横方向にシフトします。 この横方向のシフト \(S_r\) は、グース・ヘンヘンシフト (GHS) として知られています。 (b) GHS を制御するために空洞内に配置される二重 \(\Lambda\) 原子スキーム。

パラメータ \(P_{ij} = \rho ^{(0)}_{ii}- \rho ^{(0)}_{jj}\) は、州間の人口差 \(|i\rangle \) と \(|j\rangle\) ここで \(i, j \in (a, b, c, d)\)。 これらの母集団の式は次のように与えられます45。

残りのパラメータの詳細な式 \(a_{1}\)、\(a_{2}\)、\(a_{3}\)、\(a_{4}\)、\(R_{a} \) および \(R_{b}\) は次の場所にあります4 減衰率は \(\gamma _i\) で表され、 \(\gamma _{ij} =(\gamma _i+\gamma _j)/2\) は、状態 \(| i \rangle\) と \(|j \rangle\)。 減衰率の値は \(\gamma_{a} = \gamma_{b} = 0.7 \gamma\)、\(\gamma_{A} = \gamma_{B} = 0.2 \gamma\)、\ (\gamma _{ab} = \gamma _{cd} = 0\)、および \(\gamma _{ac} = \gamma _{bc} = \gamma _{ad} = \gamma _{bd} } = (\gamma _{a} + \gamma _{A})/2 = 0.5 \gamma\)、ここで \(\gamma = 10\) MHz。 パラメータ \(\Delta\) および \(\Delta_\mu\) は、 \(\Delta =\omega_{p} - {W_{p}}\) および \(\Delta_\mu = {W_{ \mu}} -\omega_{\mu}\)、ここで \({W_{p}} = (\omega_{ad}+\omega_{bd})/2\)、\( {W_{\mu} } = (\omega _{ac}+\omega _{bc})/2\)、\(\omega _{ij} = \omega _i-\omega _j\) は 2 つの状態間のエネルギー差です \ (|i \rangle\) と \(|j \rangle\)。 \(\mathscr{A}, \mathscr{B}, \mathscr{C}\) は密度パラメータです。 また、\(\Omega_\mu^+ = \Omega_\mu^-/\alpha\)、\(\alpha\) は 2 つの駆動フィールド間の比率です。

反射 TE 偏光場の GHS \(S_{r}\) は、定常相理論 9 の結果を使用して計算できます。

ここで、 \(k_{y} = k {\sin } \theta\) は波動ベクトルの平行成分、 \(k = \omega _{p} /c\) で、c は真空中の光の速度です。 関数 \(\phi _{r}\) は、反射場に対応する位相シフトを表します。 反射された TE 偏光場の位相シフトは、 \(\phi _{r} = {\tan }^{-1) を介して反射係数 \(r^{{\textrm{TE}}}\) に直接関係します。 } \big [ {\textrm{Im}}(r^{{\textrm{TE}}})/{\textrm{Re}}(r^{{\textrm{TE}}}) \big ]\) 。

標準的な特性行列アプローチ 49,50 を使用して、TE 偏光場の 3 層キャビティの反射係数 \(r^{{\textrm{TE}}}\) を計算します。これにより、キャビティの層を介して場の接続が可能になります。空洞。 たとえば in34,37 と同じアプローチに従って、TE 偏光場の反射係数 \(r^{{\textrm{TE}}}\) は次のように与えられます。

ここで、 \({X}^{{\textrm{TE}}}_{ij}\) は、3 層キャビティの合計伝達行列の行列要素です。 私たちの構成の合計転送行列は次のように与えられます。

任意の単一層の場合、伝達行列は次から計算できます。

ここで \(\sin \theta _{j}=\sin \theta /n_{j}\)、\(k=\omega _{p}/c\) は真空中の入射プローブ場の波数です。プローブ周波数 \(\omega _p\)、\(n_{j}\) はキャビティ内の j 番目の層の屈折率、\(d_j\) は j 番目の層の厚さです。

私たちの構成のパラメーターは、同じ 3 層キャビティを適用するほとんどの製品と同様になるように選択できます。 層の厚さは \(d_1 = 0.2 \;\, {\mu \textrm{m}}\)、\(d_2 = 5 \,\, {\mu \textrm{m}}\) です。エッジ層の誘電率は \(\epsilon _1 =2.22\) です。 次に、二重 \(\Lambda\) 原子媒質のパラメータは次のようになります45: \(\omega _{ab} = 12.1 \gamma\), \(W = 2 \pi \times 300\) THz, \ (\Delta = -5 \gamma\)、\(\Delta _\mu = 0\)、\(\mathscr{A} = 1.1 \gamma\)、\(\mathscr{B} = 1.05 \gamma\) 、および \(\mathscr{C} =\gamma\)、ここで \(\gamma =10\) MHz。 調査される自由パラメータは \(\Omega _\mu\)、r、および \(\theta\) です。ここで、 \(\Omega _\mu ^- = \Omega _\mu ^+ = \Omega _\mu\) と \(\alpha =1\)。

次にGHSの計算を進めます。 GHS を制御するシステムの機能を一目で確認するために、いくつかの選択されたパラメーターについて、反射ビームの GHS と入射角 \(\theta\) を 0 から \(\pi /2\) までプロットします。原子媒体。 図 2 では、r を変更すると GHS の振幅と方向の両方が変更されることがわかります。 言うまでもなく、私たちのシステムはポンプ r と駆動磁場のラビ周波数 \(\Omega _\mu\) の値を操作するだけで遠隔から調整および制御され、GHS の動作に大きな変化をもたらします。構造はそのままに保たれます。

(a) と (b) は、反射ビームの相対位相と入射角 \(\theta\) を示しています。 (c) と (d) は、反射光ビームの GHS の入射角 \(\theta\) への依存性を示しています。 ポンピング速度の値は、(a) と (c) では \(r = 0.5 \gamma\) ですが、(b) と (d) では \(r = 3 \gamma\) です。 (a) ～ (d) の駆動場 \(\Omega _{\mu } = 2 \gamma\)。 GHS の振幅は、鋭い位相変化が発生する入射角で大きくなります。 他のパラメータは本文中に示されています。

以下では、外部パラメータ r および \(\Omega _\mu\) に対する反射ビームの横方向シフトの依存性を調べます。 私たちの目的は、原子媒質のパラメーター、つまり r と \(\Omega _\mu\) のみを変更し、空洞の構造を変更せずに、GHS の挙動を観察することです。 また、r と \(\Omega _\mu\) のどの値が大きな GHS を生成する可能性があるかを知ることもできます。

駆動磁場を固定しながら、GHS に対するポンピング速度 r の影響を研究します。 図 3 では、入射角を \(\theta = { 62^{\circ }}\)。 図 3 の GHS は、選択した \(\Omega _\mu\) の値に対して正または負の値になります。 図 3a では、ポンピング率 r の特定の値付近で、GHS が入射光ビームの波長と比較して大きい、つまり \(10^{2} \lambda\ 程度) であることがわかります。 ) \(\Omega _\mu = 5 \gamma\) の場合。 \(\Omega _\mu = 7 \gamma\) の場合、図に見られるように、ほぼ \(10^{3} \lambda\) 程度の大きな正の GHS が \(r \about 3 \gamma\) で発生します。 .3b.

反射光フィールド \(S_r\) の GHS と、駆動フィールド \(\Omega _\mu\) のさまざまな値に対するポンピング率 r の関係を表します。 (a) の駆動場の値は \(\Omega _{\mu }=3 \gamma\) (実線) と \(\Omega _{\mu }=5 \gamma\) (破線) です。 同様に、(b) では \(\Omega _{\mu }=7 \gamma\) (実線) と \(\Omega _{\mu }=20 \gamma\) (破線) です。 他のパラメータは本文中に示されています。

このサブセクションでは、駆動場のラビ周波数 \(\Omega _\mu\) に対する反射ビームの GHS の依存性を調べます。 以前の研究 (セクション III. A) から、r の特定の値で大きな GHS が得られました。 図 4 は、GHS の \(\Omega _\mu\) への依存性を示しています。ここでは、\(\Omega _\mu\) のある範囲にわたって大きな負と正の GHS が発生しています。

さまざまな値のポンピング速度 r に対する GHS の駆動場 \(\Omega _\mu\) への依存性。 他のパラメータは本文中に示されています。

図4aでは、rの2つの異なる値に対して \(\Omega _\mu\) を使用してGHSをプロットします。 \(\Omega _\mu\) の比較的広い範囲にわたって \(~ 10^2 \lambda\) のオーダーで大きな正のシフトが観察されます。 これは、この状況で大きな正の GHS を生成する \(\Omega _\mu\) の値を柔軟に選択できることを示しています。

図4bでは、rが変更されると、 \(\Omega _\mu\) のさまざまな点で大きなシフトが達成されることがわかります。 たとえば、 \(r = 3 \gamma\) の場合、 \(\Omega _\mu \ で \(S_{r} \estimate - 10^{3} \lambda\) という大きな正の GHS が観察されます。約 7 \ガンマ\)。 実際、これらの大きなシフトは、r の値の選択された範囲で連続しています。 したがって、これは、 \(~ 10^3 \lambda\) のオーダーで大きなシフトを生成するペア (r, \(\Omega _\mu\)) を選択できることを示唆しています。

これまで、入射角が \(\theta = {62^{\circ }}\) の場合に GHS の解析が行われてきました。 選択したパラメータのすべての角度が必ずしも大きなシフトを生成できるわけではないことに注意してください。 ここで、選択した他の入射角値でも大きな正または負の GHS が観察できることを示します。

ポンピング率 r のさまざまな値に対する、駆動場 \(\Omega _\mu\) に対する反射ビームの GHS。 (a) と (b) の入射角は、それぞれ \(\theta ={56^{\circ }}\) と \(\theta = {65^{\circ }}\) です。 他のパラメータは本文中に示されています。

図 5 では、反射ビームの GHS が、ペア (r, \(\Omega _\mu\)) の特定の値の下で \(10^3 \lambda\) オーダーの値に達することがわかります。 ここで選択した角度について報告されたすべての結果では、r の値が変更されるにつれて、大きな正と負の GHS が観察されます。 たとえば、入射角が \(\theta = {56^{\circ }}\) である図 5a では、GHS は \(10^3 \lambda\) のオーダーに達しており、これは比較的大きいです\(\Omega _\mu\) の広い範囲でそれが発生するシフト。 同様に、入射角が \(\theta = {65^{\circ }}\) であると仮定されている図 5b では、小さな範囲の \( \オメガ_\ム\)。 したがって、角度ごとに、大きな GHS を見つけるには、大きなシフトが可能なペア (r, \(\Omega _\mu\)) の適切な値を見つけるために、ある種の最適化を実行する必要があります。起こる。

GHS の以前の結果はすべて、Artmann 式によって導出された式を使用して得られます。 (5)6,9． Artmann は、入射ビームが平面波であると仮定して GHS を計算するためにこの結果を導き出しました。 GHS を実験的に測定する場合、通常はガウス プロファイルを持つレーザー ビームを考慮します。 34 に示すように、システムの入射光がガウス ビームであることを考慮して Artmann の式の妥当性を検証します。これは次のように書くことができます。

同様に、界面での反射光線は次式で与えられます。

ここで \(B(k_{y})\) はガウサン ビームの角度スペクトル分布であり、次の式で与えられます。

\(W_{y} = W/{\cos } \theta\) および \(k_{y0} = k {\sin } \theta\) で、W は界面でのガウス ビームの半値幅を表します。 界面 (\(z=0\)) における入射ビームと反射ビームの最大正規化強度分布の位置は、次のように計算できます。

ここで、上付き文字 i と r はそれぞれ入射ビームと反射ビームを示します。 この状況における GHS は、入射ビームと反射ビームの強度プロファイルの最大点の位置の差によって与えられます。つまり、 \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{ i}} \rangle\)。 式1を使用したGHSの計算では \(W = 100 \lambda\) を選択します。 (12)。 図 6a では、 \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{i}} \rangle \about -28 \,\, {\mu \textrm{m}}\) と図6b \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{i}} \rangle \about 13 \,\, {\mu \textrm{m}}\)。 横方向シフトのこれらの結果は、図 1 と 2 に示す固定相アプローチを使用して計算された結果 と一致します。 それぞれ２ａ、３ｂ。 したがって、この方法は Artmann の公式 Eq. の妥当性を確認します。 GHSの(5)。

\(W = 100 \lambda\) による入射光線 (実線) と反射光線 (破線) の正規化された強度分布。 (a) の入射角は \(\theta = {44.6^{\circ }}\)、\(r=0.5 \gamma\) および \(\Omega _{\mu }=2 \gamma\) です。 。 (b) では、 \(\theta ={30^{\circ }}\) に \(r= 3 \gamma\) と \(\Omega _{\mu }=2 \gamma\) が適用されます。 他のパラメータは本文中に示されています。

我々は、2枚のガラススラブで囲まれたキャビティ内に配置された二重\(\ラムダ\)原子媒質を使用して、反射光ビームのGHSの制御を調査しました。 私たちは、共振器構造をそのままにしながら、駆動磁場のポンプ r とラビ周波数 \(\Omega _\mu\) の値を変更するだけで、反射ビームの GHS を遠隔制御できることを示しました。 また、私たちのシステムは、複数の入射角で \(10^{3} \lambda\) 次数の非常に大きな GHS を生成できることもわかりました。

この論文のプロットをサポートするデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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アナス・オスマン氏はタイバ大学からの財政的支援を認めています。 この研究は、アブドゥルアズィーズ国王科学技術都市 (KACST) からの助成金によっても支援されています。

タイバ大学理学部物理学科、アル・マディナ・アル・ムナワラ、サウジアラビア

アナス・オスマン

Institute of Quantum Technologies and Advanced Computing、KACST、リヤド、11442、サウジアラビア

サイード・アシリ & M. アル・アムリ

NCQOQI、KACST、リヤド、11442、サウジアラビア

M・アル・アムリ

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MA がアイデアを考案し、プロジェクトを監督しました。 AO と SA は理論計算を実行し、結果を分析しました。 著者全員が原稿執筆に協力してくれました。

サイード・アシリへの対応。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガー ネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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転載と許可

Othman, A.、Asiri, S.、Al-Amri, M. ダブルラムダ原子系による制御可能な大きな正および負のグース・ヘンヘンシフト。 Sci Rep 13、3789 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-30632-w

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受信日: 2022 年 12 月 22 日

受理日: 2023 年 2 月 27 日

公開日: 2023 年 3 月 7 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-30632-w

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