量子活性化因子のチューリング不安定性

Oct 15, 2023

Scientific Reports volume 12、記事番号: 15573 (2022) この記事を引用

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メトリクスの詳細

チューリング不安定性は、非平衡自己組織化の基本的なメカニズムです。しかし、その本質的なメカニズムの普遍性にもかかわらず、チューリング不安定性はこれまで主に古典系で研究されてきました。本研究では、チューリング不安定性が量子散逸系で発生する可能性があることを示し、量子もつれや測定の影響などの量子的特徴を分析します。我々は、量子活性剤・阻害剤ユニットとして量子光学における非線形減衰を備えた縮退パラメトリック発振器を提案し、そのような2つのユニットからなるシステムが相互に拡散結合するとチューリング不安定になる可能性があることを実証します。チューリング不安定は、2 つのユニット間の不均一性ともつれを引き起こし、量子ノイズにより混合される一対の不均一な状態を生じさせます。さらに結合システムに対して連続測定を実行すると、チューリング不安定性によって引き起こされる不均一性が明らかになります。私たちの結果は、チューリング機構の普遍性を量子の領域に拡張し、量子非平衡自己組織化の可能性と量子技術におけるその応用について新しい視点を提供する可能性があります。

自然は、自発磁化、結晶成長、超伝導など、系内の内部相互作用によって引き起こされる自発的対称性の破れを介して自己組織化されたさまざまな秩序を示しています 1、2、3。特に、非平衡開放系は、散逸構造と呼ばれる、平衡系では発生できないさまざまな自己組織化パターンをサポートできます。散逸構造の例には、流体対流パターン、レーザー発振、化学波とパターン、生物学的パターンとリズムが含まれます4、5、6。自己組織化とパターン形成は、原子ボース・アインシュタイン凝縮やトラップされたイオン 7,8、光機械システム 9、量子ドット 10 などの量子システムでも研究されています。最近関心が高まっている量子同期 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22 も、量子非平衡自己組織化の一例です。

1952 年、チューリングは、反応する化学種の拡散率の違いにより均一な定常状態が不安定になり、空間的に広がった系において不均一な周期パターンが自発的に出現する可能性があることを示しました。 1972 年に、Gierer と Meinhardt は、局所的な自己強化と長距離の抑制を備えた活性化剤 - 阻害剤系という現在よく知られている概念を導入することにより、チューリング不安定性を直観的に説明しました 24。その後、チューリング不安定性とその結果生じるパターンは、化学反応 25,26,27 や生物学的形態形成 28,29,30、生態学的集団 31,32,33、非線形光学システム 34,35,36,37 など、さまざまなシステムで研究されました。 38、39、40。チューリングパターンは、確率システム 41、42、43、44 およびネットワークシステム 45、46、47、48、49 でも理論的に研究されています。チューリングパターンの最初の実験的実現は、チューリングの独創的な論文から 40 年後の 1990 年に達成され、続いてゲル反応器内での亜塩素酸塩 - ヨウ化物 - マロン酸反応を使用して分岐図 51 の最初の実験的決定が行われました。チューリング不安定性に関する最近の進歩と最新の議論は、たとえば参考文献 52 で概説されており、複数種システムにおける不安定性 53,54、ドメイン成長の影響 55,56,57,58、およびドメインの影響を含むチューリングパターンのさまざまな新しい側面が含まれています。遅延とノイズ59．

ナノテクノロジーの最近の発展は、チューリング型不安定性と、量子ドット分子を含むキャビティ内の不正波60、ベクトルカー媒体61、キャビティ内第二高調波発生62、縦方向微小共振器63、カーなどのマイクロおよびナノスケールシステムにおけるパターンの理論的および実験的研究を刺激している。 -アクティブ微小共振器64、半導体微小空洞65、およびビスマス単層66。したがって、量子系におけるチューリング不安定性の可能性を体系的に分析することが重要になってきています。この研究方向において、光パラメトリック発振器などの非線形光学システムに関する先駆的な研究 38、39、40 では、チューリング型不安定性 34 によるパターン形成の可能性が検討され、量子ゆらぎ 35 と量子スクイージング 36 の影響が議論されています。ただし、演算子積の方程式の無限階層を扱うのは難しいため、解析は量子ゆらぎを受ける古典場の近似確率微分方程式を介して処理できる場合に限定されました 37。

最近、完全な量子力学的マスター方程式を使用して、一対の結合量子スチュアート・ランダウ発振器の均一振幅消滅状態から不均一振動消滅状態への分岐が議論されました 67,68,69。もともと古典系で解析されたチューリング型分岐の量子的発現とみなされる70。この分岐は興味深いものですが、考慮されているシステムは活性化剤と阻害剤のタイプではなく、カップリングが存在しない場合には均質な定常状態を持たないため、本来の意味でのチューリング不安定性は正確にはありません 70。さらに、チューリング分岐と量子もつれや量子測定などの量子特徴との関係は、これらの論文では研究されていません 67、68、69。

この研究では、量子活性化剤と抑制剤系の最小モデルを提供することにより、最も単純な設定、つまり対称的に結合された一対のユニットにおける量子散逸系におけるチューリング 23 とギーラーとマインハルト 24 の本来の意味でのチューリング不安定性を解析します。我々は、非線形減衰を持つ縮退パラメトリック発振器が量子活性化剤と抑制剤のユニットとして動作する可能性があり、そのような 2 つのユニット間の拡散結合がチューリング不安定性を誘発し、2 つのユニット間の不均一性ともつれを引き起こし、一対の不均一性を引き起こす可能性があることを示します。量子ノイズにより対称的に混合された状態。さらに、結合システムで連続測定を実行するとこの対称性が崩れ、チューリング不安定性によって引き起こされる真の非対称性が明らかになることを示します。模式図を図1に示します。

量子チューリング不安定性。 (a) 量子活性化剤と量子阻害剤のユニットのペア。 (b) 2 つのユニット間の拡散結合はチューリング不安定性を引き起こす可能性があり、これによりユニット間の不均一性ともつれが生じ、量子ノイズにより対称的に混合される一対の不均一な状態が生成されます。 (c) 2 つのユニットでさらに連続測定を実行すると、対称性が破れ、チューリング不安定性によって引き起こされる非対称性が明らかになる可能性があります。

我々は最初に、量子光学における非線形減衰を持つシングルモードの縮退パラメトリック発振器71が、古典極限における系の決定論的な軌道が従来の活性化因子・抑制因子のダイナミクスに従うという意味で、量子活性化因子・抑制因子ユニットとみなせることを示す。

\(\omega _{0}\) はキャビティの共振周波数、\(\omega _{p}\) はスクイーズポンプビームの周波数を表します。周波数 \(\omega _{p}/2\) の回転座標系では、システム状態を表す密度演算子 \(\rho\) の発展は量子マスター方程式 (QME) に従います71

ここで、\([A, B] = AB - BA\) は 2 つの演算子 A と B の交換子、a はシステムから光子を減算する消滅演算子、\(a^{\dag }\) は作成システムに光子を追加する演算子 (\(\dag\) はエルミート共役を表します)、\(\Delta = \omega _{0} - \omega _{p}/2\) は共振周波数の離調です\(\eta e^{ i \theta }\) (\(\eta \ge 0\)) は、ポンプビームの有効振幅を表すスクイーズパラメータです。\ ({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L - L^{\dag } L \rho )/2\) は演算子 L (\(L=a\) または \(L=a^2\)) および \(\gamma _{1}~(>0) を介したシステムと貯留層の結合を表すリンドブラッド形式\) と \(\gamma _{2}~(>0)\) は、システムとそれぞれの貯水池。換算されたプランク定数は \(\hbar = 1\) として設定されます。

位相空間法 72,73 を採用し、密度演算子 \(\rho\) を表す準確率分布としてウィグナー分布 W(x, p) を使用します。ここで、x と p は位相空間内の位置と運動量を示します。それぞれ。このアプローチを使用すると、QME を位相空間上の W(x, p) の発展方程式に変換できます。この方程式には、一般に 2 次以上の微分項があります。 \(\gamma _2\) が小さい場合、高次の微分項を無視することができ、QME (1) に対応する W(x, p) の発展方程式は半古典的なフォッカー・プランク方程式 (FPE) で近似できます。または対応する確率微分方程式 (SDE)。 QME の古典極限における決定論的軌道 (1) は、小さな量子ノイズの影響を無視し、SDE の決定論的部分によって与えられ、次の 2 次元系に従うことがわかります。

方程式の導出と量子領域の特徴付けの詳細については、「方法」を参照してください。

パラメーターを適切に選択することにより、古典的なシステム (2) は活性化剤と阻害剤のダイナミクスに従います (「方法」を参照)。位置 x と運動量 p がそれぞれ活性化変数と抑制変数の役割を果たすようにパラメーターを設定します。つまり、x は自己触媒的に自身の生産を強化し、p は x の成長を抑制します。非線形減衰のないシステムも量子活性化因子と抑制因子のユニットとして動作する可能性がありますが、原点での不安定化後にシステム状態が無限に発散するのを防ぐために非線形減衰が必要であることに注意してください。

図 2a は、式 (1) の決定論的なベクトル場を示しています。 (2)、ここで 2 つの曲線は、x と p のヌルクライン (\({\dot{x}} = 0\) または \({\dot{p}} = 0\) となる) と \ でのそれらの交点を表します。 ((x,p) = (0, 0)\) は安定した固定点に対応します。図 2b は、定常状態での直接数値シミュレーション (DNS) によって得られた半古典 SDE の単一軌道の散布図を示し (「方法」を参照)、図 2c は QME から得られた定常ウィグナー分布を示します (1)。半古典的な軌道とウィグナー分布は、量子ノイズにより原点の古典的な固定点の周りに分布します。

量子活性化剤と抑制剤のユニット。 (a) 方程式の決定論的ベクトル場のヌルクライン (2)。青と緑の曲線は、それぞれ \({\dot{x}} = 0\) と \({\dot{p}} = 0\) を満たす集合 (x, p) を示します。 (b) 半古典 SDE から得られた (x, p) の確率的軌跡。 (c) QME から取得した定常ウィグナー分布 W(x, p)。パラメータは \(\Delta = -0.6、\gamma _{1} = 0.4、\gamma _{2} = 0.1、\theta = \pi\)、および \(\eta = 0.3\) です。

古典的なチューリング不安定性では、空間的に分布した活性化剤と阻害剤の系の均一な定常状態は、適切な拡散率を持つ活性化剤と阻害剤の種の拡散が導入されると不安定になり、不均一な状態の形成につながります 23。最も単純な設定では、この直観に反するチューリング不安定性は、同一の特性を持つ拡散結合した 2 つの活性化剤と阻害剤のユニットからなる系ですでに観察されています。2 つのユニットが同じ状態をとるシステムの均一な定常状態は、次の場合に不安定になります。拡散率が適切に選択され、その結果、2 つのユニットが互いに異なる状態に落ち着く不均一な定常状態が形成されます。

チューリング不安定性を受ける量子モデルとして、2 つの同一の量子活性化剤と抑制剤のユニット (1 と 2 で示す) を拡散結合させます。これらのユニットはそれぞれ式 1 に従います。 (1)。 2 つのユニットの結合システムは、QME に従う 2 モード密度演算子 \(\rho\) によって記述されます。

ここで、 \(a_j\) と \(a_j^{\dag }\) は、それぞれ j 番目の量子活性化剤と抑制剤の単位 (\(j = 1, 2\)) の消滅演算子と作成演算子です。パラメータ \(\Delta , \eta e^{ i \theta }, \gamma _1\) および \(\gamma _2\) は両方のユニットに共通です。この式の最初の行は、式 (1) で与えられる 2 つのシングルモードユニットを表します。 (1)、2 行目に新たに導入された項は 2 つのユニット間の結合を表します。最初の結合項は、圧縮項の合計、つまり \(- i \left[ i \frac{D_{h}}{4} \left\{ (a_1 - a_2)^2 \right. \ として表すことができます。 right.\) \(\left. \left. - (a_1^\dag - a_2^\dag )^2 \right\} , \rho \right] = \sum _{j=1,2} \left( -i \left[ i \frac{D_{h}}{4} ( a_{j}^2 - a_{j}^{\dag 2}), \rho \right] \right) -i \left[ i \frac{D_{h}}{2} ( a_{1}^{\dag } a_{2}^{\dag } - a_{1} a_{2}), \rho \right]\),これは、それぞれシングルモードおよび 2 モードのスクイージングハミルトニアンとして解釈できます。 \(D_{c}\) を含む第 2 項は散逸結合、つまり散逸過程から生じる結合を表します 12,14。式が成り立つことに留意されたい。 (3) はユニット 1 とユニット 2 を交換して対称です。

2 モードシステムに位相空間法を採用することにより、QME の古典的極限における決定論的ダイナミクス (3) を次のように導出できます (「方法」を参照)。

ここで、\(x_j\) と \(p_j\) は、2 モードウィグナー分布 \(W(x_1, p_1, x_2, p_2)\)73 の位相空間における j 番目のユニットの位置と運動量を表します。 2 つの古典的な活性化剤と阻害剤の単位があり、それぞれが式 1 で表されることがわかります。 (2) は、各方程式の最後の項によって、位置 x (活性化因子) と運動量 p (抑制因子) を介して拡散的に結合されます。これらの項は、式 1 の強度が \(D_h\) によって特徴付けられる単一モードおよび 2 モードのスクイージングハミルトニアンと、強度が \(D_c\) によって特徴付けられる散逸結合から生じます。 (3)。式の x と p の拡散定数は次のようになります。 (4) はそれぞれ \(D_x = (D_{c} + D_{h})/2\) と \(D_p = (D_{c} - D_{h})/2\) で与えられます。 \(D_h\) によって特徴付けられる最初の項はハミルトニアン結合および非散逸を表しますが、式 (1) の古典的極限における決定論的ダイナミクスでは散逸結合として機能することに注意してください。 (4)。

式 (1) で記述される古典的な結合システム。 (4) 局所的な自己強化と長距離抑制の条件が満たされると、チューリング不安定になる可能性があります (「方法」を参照)。したがって、量子活性化剤と抑制剤のシステム、式 (1) は次のようになります。 (3) も、パラメーター値が適切に選択されている場合、チューリング不安定性を示すと予想されます。この研究での私たちの目的は、量子散逸系の最も単純な設定において元の活性化因子と抑制因子の枠組み内でチューリング不安定性が発生し得るかどうかを明らかにすることです。より一般的なモデルを考慮すると、結合した活性化剤と阻害剤のペアまたは均一な溶液の存在の要件が緩和される可能性があることに注意してください53、54、55、56、57、58、59。この研究では、対称的に結合した量子活性化因子と抑制因子のペアの最も単純なケースに焦点を当て、チューリング 23 とギーラー・マインハルト 24 の本来の意味での量子チューリング不安定性について議論します。このモデルはその単純さにより、量子力学の直接数値シミュレーションを可能にし、実験に最も適しています。

決定論的システム (4) は、4 次元位相空間の原点、つまり \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (0, 0, 0, 0)\) に固定点を持ち、次の場合に安定します。拡散結合は存在しません。つまり、\(D_x = D_p = 0\) です。ユニット 1 とユニット 2 は両方とも原点に落ち着きます。つまり、\(j=1, 2\) の場合は \((x_j, p_j) = (0, 0)\) になります。したがって、システム全体は均一な状態になります。適切な拡散率をもつ拡散結合が導入されると、この一様な状態はチューリング不安定性によって不安定になり、代わりに \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm) に一対の安定な不一様な不動点が現れます。決定論的古典系 (4) の B,{\mp } A, {\mp } B)\) (「方法」を参照)。

同様に、量子系 (3) では、拡散結合が存在しない場合 (\(D_x = D_p = 0\))、図 2a に示すように、各ユニットの状態は (0, 0) の安定な固定点の周囲に局在します。。したがって、2 つのユニットは同じ分布に従い、システム全体が均一な状態になります。ただし、拡散定数が適切に選択されると、この均一な状態はチューリング不安定性によって不安定になり、以下に示すように不均一な状態に変わります。

図 3 は、QME の DNS によって観測された半古典領域におけるチューリング不安定性を示しています (3)。図 2 と同じパラメータが両方のユニットに想定されます。図 3a、3c、3e では 2 つのユニットが分離されています (\(D_x = D_p = 0\))。一方、図 3b では適切な拡散定数で結合されています (\(D_x = 0.005, D_p = 0.995\))。、3d、3f。システム状態の不均一性 \(\rho\) を視覚化するために、2 モード Husimi Q 分布 72,73 \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2) を導入します。 }\right) =\frac{1}{\pi ^{2}} \left\langle \alpha _1, \alpha _2 | \rho | \alpha _1, \alpha _2 \right\rangle\) with \(\ alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1, 2)\) を使用し、周辺分布 \(Q(x_1,x_2) = \int \int dp_1 dp_2 Q\left( x_{1}, p_{1} , x_{2}, p_{2}\right)\) および \(Q(p_1,p_2) = \int \int dx_1 dx_2 Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, \(Q\left( x_{1}、p_{1}、x_{2}、p_{2}\右)\)。

拡散結合のない図 3a、3c では、\(Q(x_1, x_2)\) と \(Q(p_1, p_2)\) の両方が原点の周りに対称的に分布しています。 2 つのユニットの変数には相関がなく、統計的に同じ分布を示します。したがって、2 つの単位からなる系全体の状態 \(\rho\) は対称かつ一様です。対照的に、図 3b では、拡散結合のある 3d \(Q(x_1, x_2)\) は対称ではなく、2 つの古典的な固定点 \((x_1, x_2) = (A, -A) の近くに 2 つの極値を取ります。 \) と \((-A, A)\)、同様に \(Q(p_1, p_2)\) は \((p_1, p_2) = (B, -B)\) と \(( -B、B)\)。したがって、2 つのユニットは互いに逆の状態を取る傾向があり、システム全体の状態 \(\rho\) は不均一になります。量子ノイズのため、システム状態が混合され、分布には古典的な固定点の両方の近くに 2 つの対称的なピークがあることに注意してください。

図3eと3fは、(e)拡散結合なしの場合と(f)拡散結合ありの場合のユニット1と2の周辺ウィグナー分布\(W(x_1, p_1)\)と\(W(x_2, p_2)\)を示しています。これらのウィグナー関数は、周辺密度演算子 \(\rho _1 = \mathrm{Tr}\,_2[\rho ]\) および \(\rho _2 = \mathrm{Tr}\,_1[\rho ]\) から取得されます。 )、ここで \(\mathrm{Tr}\,_j[\cdot ]\) は半古典的領域における系 j の部分トレースを表します。 2 つの単位は対称であるため、\(W(x_1, p_1)\) と \(W(x_2, p_2)\) は互いに同一です。さらに、拡散結合のない図3eのウィグナー分布は、図2cに示す単一ユニットのウィグナー分布と同一です。拡散結合なしの図3eでは、ウィグナー分布は原点に単一のピークを持ちますが、拡散結合ありの図3fでは、ウィグナー分布は2つの安定した固定点\((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) の決定論的古典系 (4) (「方法」を参照)。

上記の結果は、チューリング不安定性が実際に発生し、式 1 で説明される 2 つの拡散的に結合した量子活性化因子と抑制因子のユニットに不均一な定常状態が形成されたことを明確に示しています。 (3)。この領域では、対応する SDE の直接数値シミュレーションを実行することもできます。これにより、チューリング不安定性によって引き起こされる不均一性が明確に視覚化されます (「方法」を参照)。

半古典領域における拡散結合した一対の量子活性化因子と抑制因子ユニットにおけるチューリング不安定性。 (a,b) Q 分布 \(Q(x_1, x_2)\) の 2D プロット。 (c,d) Q 分布 \(Q(p_1, p_2)\) の 2D プロット。 (e、f) ユニット 1 および 2 の定常ウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) および \(W(x_2, p_2)\) の 3D プロット。(a – d) の赤と黄色の点は古典的な極限における決定論的システムの安定した不動点を表します。 (a、c、e) では、2 つのユニットが分離されています。ユニットの状態は相関がなく、原点の周囲に局在しています。したがって、システム全体は均一な状態になります。 (b、d、f) では、2 つのユニットが拡散結合しています。チューリング不安定性のため、2 つのユニットは互いに異なる状態をとる傾向があります。したがって、システム全体が不均一になります。 (e、f) では、ユニット 1 と 2 のウィグナー分布は互いに同一であるため、単一のプロットとして示されています。量子活性化因子と抑制因子のユニットのパラメーターは \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1, \theta = \pi\)、および \(\eta = 0.3\)。拡散定数は、(a,c,e) では \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) および \(D_c = 0\))、\(D_x = 0.005\) および \(D_p) です。 = 0.995\) (b,d,f) の (\(D_h = -0.99\) および \(D_c = 1\))。

次に、弱い量子領域の結果を示します。決定論的システムを古典的な限界、式 (3) に保ちながら、QME (3) のパラメーターをより深い量子領域に設定します。 (4) は、前の準古典的なケースから変更されていません。量子体制の特徴付けについては「方法」を参照してください。図 4 は、この領域におけるチューリング不安定性を示しています。図 4a、4c、4e では 2 つのユニットが分離されていますが、図 4b、4d、4f では適切な拡散定数で結合されています。

前の半古典的な場合と同様に、拡散結合が存在しない場合、活性化因子 x と抑制因子 p の周辺 Q 分布 \(Q(x_1,x_2)\) と \(Q(p_1, p_2)\) は原点の周りに対称的に局在します。図4a、4c。拡散結合が導入されると、これらの結合分布は非対称になり、図 4b、4d に示すように、2 つのユニットが逆相関し、互いに反対の状態を取る傾向があることを示します。この領域では、強い非線形減衰により、古典的極限における 2 つの安定な固定点は、半古典的領域よりも互いに近くなります。同様に、量子ノイズの影響が比較的強いため、結合分布の不均一性は半古典的な場合ほど顕著ではありません。

弱い量子領域における拡散結合した一対の量子活性化因子と抑制因子ユニットにおけるチューリング不安定性。 (a,b) Q 分布 \(Q(x_1, x_2)\) の 2D プロット。 (c,d) Q 分布 \(Q(p_1, p_2)\) の 2D プロット。 (e,f) ユニット 1 とユニット 2 の定常ウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) と \(W(x_2, p_2)\) の 3D プロット (互いに同一)。 (a – d) の赤と黄色の点は、古典極限における決定論的システムの安定した固定点を表します。 (a、c、e) では、2 つのユニットが分離されています。ユニットの状態は原点の周囲に局在しており、互いに相関関係がありません。 (b、d、f) では、2 つのユニットが拡散結合しています。チューリング不安定性により、2 つのユニットは互いに異なる状態をとり、不均一な分布を示す傾向があります。量子活性化剤と量子阻害剤のユニットのパラメーターは \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 1.2, \gamma _{2} = 0.5, \theta = \pi\)、および \(\eta = 0.3\)。拡散定数は、(a,c,e) では \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) および \(D_c = 0\))、\(D_x = 0.005\) および \(D_p) です。 = 0.995\) (b,d,f) の (\(D_h = -0.99\) および \(D_c = 1\))。

図 4e と 4f は、ユニット 1 とユニット 2 の周辺ウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) と \(W(x_2, p_2)\) を示しています。これらは、(e) の前と後 (e) で互いに同一です。 f) チューリング不安定性。チューリング不安定前の図4eのウィグナー分布と比較して、不安定後の図4fのウィグナー分布は、半古典的な場合のような二重対称ピークが存在するにもかかわらず、2つの古典的な安定した不動点が存在する軸に沿ってより長く伸びています。量子ノイズの影響が強いため観測されません。

したがって、量子ノイズによってぼやけていますが、系は拡散結合の導入により均一状態から不均一状態への遷移を経験します。つまり、ここで考慮した量子領域でもチューリング不安定が発生します。

また、非線形減衰のより大きな減衰率を持つ強力な量子領域も考慮します。図 5 は、この領域におけるチューリング不安定性を示しています。より強い量子ノイズの影響により、前の 2 つのケースよりも変動が強いため、わずかな不均一性のみが観察されます。後で示すように、この領域における 2 つのユニット間の不均一性は、連続測定を使用することでより明確に観察できます。

強い量子領域における拡散的に結合した一対の量子活性化因子と抑制因子ユニットにおけるチューリング不安定性。 (a,b) Q 分布 \(Q(x_1, x_2)\) の 2D プロット。 (c,d) Q 分布 \(Q(p_1, p_2)\) の 2D プロット。 (e,f) ユニット 1 とユニット 2 の定常ウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) と \(W(x_2, p_2)\) の 3D プロット (互いに同一)。 (a – d) の赤と黄色の点は、古典極限における決定論的システムの安定した固定点を表します。 (a、c、e) では、2 つのユニットが分離されています。ユニットの状態は原点の周囲に局在しており、互いに相関関係がありません。 (b、d、f) では、2 つのユニットが拡散結合しています。チューリング不安定性により、2 つのユニットは互いに異なる状態をとり、不均一な分布を示す傾向があります。量子活性化剤と量子阻害剤のユニットのパラメーターは \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 6.2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\)、および \(\eta = 0.3\)。拡散定数は、(a,c,e) では \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) および \(D_c = 0\))、\(D_x = 0.005\) および \(D_p) です。 = 0.995\) (b,d,f) の (\(D_h = -0.99\) および \(D_c = 1\))。

我々は、半古典、弱い量子、および強い量子領域において、拡散的に結合した一対の量子活性化因子と抑制因子ユニットでチューリング不安定性が発生することを見てきました。ここでは、系の挙動の拡散定数への依存性と、チューリング不安定性と量子もつれの関係を分析します。量子活性化剤と阻害剤のユニットには、図 2 と図 3 と同じパラメータセットを使用します。 3、4、5 は、それぞれ半古典、弱い量子、強い量子領域を表します。

図 6 は、式 (1) の線形化方程式の (i) 最大固有値 \(\lambda _{max}\) をプロットしています。 (4) 古典的な極限 (a, b) では、(ii) 二乗平均平方根差 (RMSD) \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle } = \sqrt{\mathrm{Tr }\,[(x_1 - x_2)^2 \rho ]}\) 2 つの単位 (c, d, e) 間の不均一性と (iii) 負性 \(\mathcal{N}\) を定量化します (「方法」を参照) ") QME の定常状態に関して、\(D_x - D_p\) 平面上の量子もつれの程度 (f、g、h) を特徴付けます (3)。図に注目してください。図６ａおよび６ｂは、すべてのレジームに共通である。図６ｃおよび６ｆは半古典的領域のものである。 6d と 6g は弱い量子領域の場合、図 6d と 6g は弱い量子領域の場合です。 6e と 6h は強い量子体制用です。

固有値、不均一性、負性の拡散定数 \(D_x\) および \(D_p\) への依存性。 (a, b) 最大固有値 \(\lambda _{max}\)。 (b) は、(a) の原点付近を拡大したものです。 (c,d,e) 平方根平均二乗距離 \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\)。 (f,g,h) 負性 \({\mathcal {N}}\)。各図では、古典極限におけるチューリング不安定性の臨界曲線 (つまり、 \(\lambda _{max} = 0\) となる) が黒い点の曲線で表され、赤い点が拡散率 \( (D_x, D_p) = (0.005, 0.995)\) は図で使用されます。 3、4、5。パラメータは \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\)、\(\eta = 0.3\)、および \(\frac{2 \gamma _{2} - \ gamma _{1}}{2} = -0.1\)、半古典的領域 (c,f) では \(\gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1\)、\(\弱い量子領域 (d,g) では gamma _{1} = 1.2, \gamma _{2} = 0.5\)、\(\gamma _{1} = 6.2, \gamma _{2} = 3\)強い量子体制 (e、h) で。

図6a、6bに示すように、均一状態の固有値\(\lambda _{max}\)は、点線の曲線の下の領域で正であり、阻害剤\(D_p\)の拡散率が比較して比較的大きいです。アクティベーター \(D_x\) のそれに。チューリング不安定性は、量子系のこの領域でも発生すると予想されます。赤い点 (\(D_x = 0.005, D_p = 0.995\)) は、図 3 と図 4 に対応する古典限界における拡散定数を表します。 3、4、5。

図6c〜6eにプロットされたRMSDは、不均一性が実際に半古典、弱い量子、および強い量子領域のチューリング不安定によって引き起こされ、最大固有値 \(\lambda _{max}\) と有意に相関していることを示しています。古典的な限界。不均一性は半古典領域 (c) で最も強く、弱い量子領域 (d) では中程度に、強い量子領域 (e) では弱くのみ顕著になる傾向があります。これは、量子ノイズが弱いことと、システム状態は、この順序で 2 つの古典的な固定点の周りにより明確に局在化します (図 3、4、および 5 を参照)。

図 6f–6h に示されている負性 \(\mathcal{N}\) も \(\lambda _{max}\) とともに増加します。これは、2 つのユニット間の量子もつれがチューリングによって生じる不均一な状態でも発生することを示しています。不安定。したがって、絡み合いは 2 つの活性化剤と阻害剤のユニット間の不均一性と正の相関がある傾向があり、このパラメーター領域で \(D_x\) が小さく \(D_p\) が大きい右下の部分で強くなります。 \(D_p\) がゼロに近く、\(D_x\) が比較的大きい場合にも、高 \(\mathcal{N}\) 領域が発生することに注意してください。これはチューリング不安定領域の外側にあり、単純に次のことを示しています。 2 つのユニットは、2 モード圧縮と散逸結合の効果によって、チューリング不安定性が始まる前にすでに絡み合っていることがわかります。

我々は、チューリング不安定性が 2 つのユニットからなるシステムの一様な状態を不安定にし、不均一性を引き起こすことを観察しました。不均一な状態の分布は、図 3 と図 4 で観察されるように、2 つの古典的な固定点の周囲に局在しています。これは、システムが 2 つの安定した固定点のいずれかに収束する 2 つの古典的な状況が量子力学的に混合された状態として解釈できます。したがって、初期条件に応じて 2 つの状態のうちの 1 つだけが実現される古典的なチューリング不安定性とは対照的に、系の状態が不均一であっても、量子ノイズにより結合系の対称性は維持されます。ここでは、システムでさらに連続測定を実行すると、この対称性が破れ、量子システムでのみ観察できるシステムの真の非対称性が明らかになる可能性があることを示します。スピンチェーン系における同様の測定による自発的な対称性の破れが報告されています 74。

QME の各ユニットに結合された線形減衰 (単一光子損失) バスの連続測定を導入します (3)。システムと測定結果を記述する確率的マスター方程式 (SME) は、次の式で与えられます75。

ここで、最初の方程式は測定の影響下での系全体の密度演算子 \(\rho\) の確率的発展を表し、2 番目の方程式は結果 \(Y_j\) (\(j=1, 2\) を表します) ) 各ユニットの測定値。項 \({\mathcal {H}}[L]\rho = L \rho + \rho L^{\dag } - \mathrm{Tr}\,[(L + L^\dagger ) \rho ]\ rho\) は求積値 \(L + L^{\dag }\) に対して実行された測定の効果を表します。 \(\kappa _j\) と \(\phi _j~(0 \le \kappa _j \le 1, 0 \le \phi _j < 2 \pi )\) は、j 番目の測定の効率と直交角を表します。単位 \(~(j = 1,2)\) をそれぞれ; \(Y_j\) は、j 番目のユニットの測定結果の出力 \(~(j = 1,2)\); \(dW_{1}\) と \(dW_{2}\) は、 \(\langle {dW_k(t) dW_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) を満たす独立したウィナー過程を表します。 \(k,l = 1, 2\)。考えられるすべての測定結果の平均結果を与える QME とは対照的に、この SME は、連続測定下でシステムの単一量子軌道を与え、定常状態の量子ノイズによって保存されるシステムの対称性の破れを明らかにすることができます。 QMEの。

図 7 は、半古典的領域での連続測定下のシステムの動作を示しています。パラメータは図 3b、3d、3f と同じです。つまり、系の一様な状態がチューリング不安定性によって不安定化されています。図 3d では、不均一性が運動量変数 p よりも位置変数 x でより顕著であることを考慮して、 \(\phi _j = 0\) を設定し、直角位相 \(x_j = (a_j + a_j^) で測定を実行します。 \dag )/2\) (\(j=1, 2\))、これは両方の単位の運動量 \(p_j\) と共役です。両ユニットの測定効率を \(\kappa _j = 0.25\) (\(j = 1, 2\)) とし、系全体の初期状態を 2 モード真空状態に設定しました。

半古典領域における連続量子測定下のチューリング不安定性。 (a,b) \(t = 50\) におけるウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) および \(W(x_2, p_2)\) の 3D スナップショットプロット。 (c,d,e,f) 2 つのユニットの位置および運動量演算子の平均値の時間発展: (c) \(\langle x_1 \rangle\)、(d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\)、(f) \(\langle p_2 \rangle\)。 (g) 負性 \(\mathcal{N}\) の時間発展。パラメータは \(\Delta = -0.6、\gamma _{1} = 0.4、\gamma _{2} = 0.1、\theta = \pi\)、\(\eta = 0.3\)、\(D_h = -0.99\)、\(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) および \(D_p = 0.995\))、および \(\phi _j = 0\) および \(\kappa _j = 0.25\)どちらも \(j = 1,2\) です。 (f) の黒い線は、測定を行わないシステムの定常状態の値を表します。

図 7a と 7b は、時刻 \ における \(\rho _1\) の瞬間周辺ウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) と \(\rho _2\) の \(W(x_2, p_2)\) を示しています。 (t = 50\) SME の DNS によって取得された、最初の過渡状態から十分に経過した後 (5)。図3fとは対照的に、これらのウィグナー分布は定常ではなく、連続測定により変動し続けます。各分布は古典系 (4) の 2 つの安定な固定点のいずれかの周囲に局在し、他方とは反対の状態をとる傾向があります。

2 つのユニットの状態間の逆相関は、図 7c ～ 7f で明らかです。ここでは、両方のユニットの位置演算子と運動量演算子の平均値の時間発展が示されています。 \(\langle {x_j}\rangle = \mathrm{Tr }\,[( (a_j + a^\dag _j)/2 )\rho ]\) および \(\langle {p_j}\rangle = -i \mathrm{Tr}\,[( (a_j - a^\量子 SME (5) の単一の確率的軌道から得られた dag _j)/2 )\rho ]\) (\(j = 1,2\)) がプロットされています。 2 つのユニットは 2 つの不均一な状態をランダムに交互に切り替え、互いに逆の状態をとる傾向があります。これは、量子ノイズによって保存されている対称性が破れ、古典的な意味でのチューリング不安定性によって引き起こされる非対称性が、連続測定による 2 つのユニットの x 変数に関する情報の抽出によって明らかになることを明確に示しています。

図7gは、連続測定における負性 \(\mathcal {N}\) の時間発展を示しています。 2 つのユニットは明らかに絡み合っており、測定が実行されていない定常状態では、絡み合いの程度は \(\mathcal {N}\) の値の周囲で連続的に変動します。

同様に、図8は、図4に示す弱い量子領域における連続測定の効果を示しています。量子領域では、図7の半古典的な場合の結果と定性的に同様の結果が観察されます。不均一性はそれほど顕著ではありませんが、負の値は平均してわずかに大きく、より強い量子測定ノイズの影響により変動が大きくなります。特に、負性は測定を行わなかった場合よりも大きな値をとり、連続測定による対称性の破れがこの領域でより強いエンタングルメントを誘発していることを示しています。

弱い量子領域における連続量子測定下のチューリング不安定性。 (a,b) \(t = 49.3\) におけるウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) および \(W(x_2, p_2)\) の 3D スナップショットプロット。 (c,d,e,f) 2 つのユニットの位置および運動量演算子の平均値の時間発展: (c) \(\langle x_1 \rangle\)、(d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\)、(f) \(\langle p_2 \rangle\)。 (g) 負性 \(\mathcal{N}\) の時間発展。パラメータは \(\Delta = -0.6、\gamma _{1} = 1.2、\gamma _{2} = 0.5、\theta = \pi\)、\(\eta = 0.3\)、\(D_h = -0.99\)、\(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) および \(D_p = 0.995\))、および \(\phi _j = 0\) および \(\kappa _j = 0.25\)どちらも \(j = 1,2\) です。 (f) の黒い線は、測定を行わないシステムの定常状態の値を表します。

最後に、図 5 に示した強い量子領域における連続測定の効果を図 9 に示します。前の 2 つの場合よりも強い量子測定ノイズの影響により変動は大きくなっていますが、2 つの単一測定間の不均一性は、図 5 では非常に小さかった単位は、連続測定の下で強調され、より明確に観察されます。また、この強い量子領域においても、負性は測定なしの場合よりも大きな値をとる。 2 つの単位の周辺ウィグナー分布の時間発展については、補足ムービーも参照してください。

強い量子領域における連続量子測定下のチューリング不安定性。 (a,b) \(t = 50\) におけるウィグナー分布 \(W(x_1, p_1)\) および \(W(x_2, p_2)\) の 3D スナップショットプロット。 (c,d,e,f) 2 つのユニットの位置および運動量演算子の平均値の時間発展: (c) \(\langle x_1 \rangle\)、(d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\)、(f) \(\langle p_2 \rangle\)。 (g) 負性 \(\mathcal{N}\) の時間発展。パラメータは \(\Delta = -0.6、\gamma _{1} = 6.2、\gamma _{2} = 3、\theta = \pi\)、\(\eta = 0.3\)、\(D_h = -0.99\)、\(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005\) および \(D_p = 0.995\))、および \(\phi _j = 0\) および \(\kappa _j = 0.25\)どちらも \(j = 1,2\) です。 (f) の黒い線は、測定を行わないシステムの定常状態の値を表します。

我々は、チューリング不安定性が量子散逸系で発生する可能性があることを理論的に実証しました。我々は、非線形減衰を持つ縮退パラメトリック発振器が量子活性化因子と抑制因子のユニットと見なすことができ、活性化因子と抑制因子の変数の拡散率が適切に選択された場合、そのような 2 つの量子活性化因子と抑制因子ユニットの間の拡散結合がチューリング不安定性を引き起こす可能性があることを示しました。。チューリング不安定性により、系は不均一になりますが、量子ノイズの影響により対称的に混合された状態のままになります。さらに連続量子測定を実行すると対称性が破れ、2 つのユニット間の非対称性が明らかになります。

私たちのモデルで想定されている物理的な設定は、原理的には現在利用可能な実験装置を使用して実装できると仮定します。量子活性化剤と抑制剤のユニットは、本質的には非線形減衰を持つ縮退パラメトリック発振器です71。スクイーズによる結合項は、2 つの量子活性化剤 - 阻害剤系のシングルモードスクイーズパラメーターを調整し、2 モードスクイーズを導入することで実装できます 76。散逸結合項は、追加の空洞を介して 2 つの発振器を間接的に結合し、それを断熱的に除去することによって実現できます 77。同様のアプローチは、原子集団 16 と光機械スチュアート・ランダウ発振器 14 の間の散逸結合を実現するために提案されています。提案されたセットアップを実験的に実現するための別の可能なアプローチは、「中間膜」オプトメカニクスを使用することです78。シングルモードスクイーズと非線形減衰 79、散逸結合 14、および 2 モードスクイーズ 80 の物理的な実装も提案されています。私たちは、ウィグナー分布に関する数値結果が量子トモグラフィーによって実験的に観察できることを期待しています81。連続量子測定の実験的実装も最近報告されています82。

この研究では、古典的な決定論的限界でチューリング不安定性を示す量子活性化因子と抑制因子のペアの数値解析を行いました。古典的なシステムの場合、確率的チューリングパターンを予測するための古典的なマスター方程式に分析的摂動アプローチが適用されてきました41、83、84、85。量子マスター方程式 12 に対して同様の摂動的なアプローチを採用し、量子チューリング不安定性をより詳細に分析できる可能性があります。

量子活性化剤と抑制剤のユニットは、量子スピン系を使用して実装することもできます。これは、小さな量子スピン系が、大規模な量子ネットワークのヒルベルト空間の次元の指数関数的な増加に対処するのに役立つ可能性があるため、興味深いものです17。量子散逸系における非平衡パターン形成におけるカー効果 15,86 と量子ジャンプ 87 を論じた以前の研究と同様に、チューリング不安定性と強い量子効果との関係を明らかにすることが重要である。チューリング不安定性ともつれの関係についてのより詳細な体系的な分析も今後の研究です。

この研究では最小限の 2 ユニット構成のみを分析しましたが、古典的な活性化因子 - 阻害剤システムのネットワークにおけるチューリング不安定性と同様に、量子活性化因子 - 阻害剤ユニットのより大きなネットワークにおけるチューリング不安定性をさらに考慮することもできます 45、46、47、48。、49。非線形光学パターン形成に対する量子効果に関するこれまでの研究 35,36 は、すべての演算子積の計算が必要であるため数値的にさえ解析するのが容易ではありません 37 と比較して、この研究で提案されている活性化剤 - 阻害剤システムはより大規模なネットワークに容易に拡張できます。したがって、これは、グローバルに接続された量子スチュアート・ランダウ発振器ネットワークにおける倉本転移 12、量子キメラ状態 88、および振動死 89 に関する以前の研究と同様に、量子散逸システムにおける自己組織化パターンの新たな出現を明らかにするために使用できる可能性があります。この研究では、結合した活性化剤と阻害剤のユニットのペアに焦点を当てましたが、格子またはユニットのネットワーク上で多くのユニットをさらに結合し、完全な量子力学的散逸システムにおける時空間パターンの形成を分析することもできるかもしれません。

量子チューリング不安定性も技術的応用が見出せる可能性があります。例えば、分岐点付近の信号増幅は、古典的な生物学的システム 90,91 および他の古典 92、ナノスケール 93、量子 94 非線形システムにおいて理論的に研究されており、非線形分岐を使用した信号増幅器が実験的に実装されている 95。同様に、量子散逸システムにおけるチューリング分岐も、量子信号増幅と量子センシングのための新しい工学的応用を提供する可能性があります。

チューリング不安定性は古典系における非平衡自己組織化のパラダイムであるため 96、量子散逸系におけるチューリング不安定性の可能性に関する我々の結果も、量子系における自己組織化の研究において本質的に重要な役割を果たし、量子技術の成長分野。

古典的な活性化因子と阻害因子のシステムは一般に次のように記述されます。

ここで、\((\dot{})\) は時間導関数を表し、x と p はそれぞれアクティベーター変数とインヒビター変数を表します。この系には \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}})\) に安定した不動点があると仮定します。 \(({\bar{x}}, {\bar{p}})\) の小さな変化を \(\delta x = x - {\bar{x}}\) および \(\delta p = p - {\bar{p}}\) と式を線形化します。 (6) を取得すると、

ここで、係数が次の条件を満たすと仮定します。

これらは、x が活性化因子、p が抑制因子である条件です。これらの標準条件は、より一般的な設定で緩和できます 55 が、ここではこれらの条件を満たすケースに焦点を限定します。

同一の特性を持つ 2 つの拡散的に結合した活性化剤と阻害剤のユニットを考えます。

ここで、\(D_x\) と \(D_p\) は、それぞれアクティベーター変数とインヒビター変数の拡散定数を表します。この結合システムには自明な固定小数点 \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p }})\)、これはシステム全体の均一な状態に対応します。

チューリング不安定性では、私たちの直感に反して、パラメーターが適切な条件を満たしている場合、この一様な状態が拡散の影響によって不安定になる可能性があります。これを確認するために、式を線形化します。 (9)として

ここで、 \(\delta x_j = x_j - {\bar{x}}\) と \(\delta p_j = p_j - {\bar{p}}\) (\(j=1, 2\)) は小さな変動です。式のヤコビ行列の最大固有値は次のようになります。 (10) は次のように与えられます。

したがって、 \(\lambda _{max} > 0\) のとき、つまり、

一様不動点 \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p}})\ ) 結合システムが不安定になります。

私たちのモデルでは、関数 f と g は次のように与えられます。

ここで、\(\gamma _1、\gamma _2、\eta\)、および \(\Delta\) はパラメータです。この固定点における f と g の導関数は次のように与えられます。

本研究で使用したパラメータ値を使用すると、式 (1) の単一システムは次のようになります。 (6) には \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}) = (0, 0)\) に安定な不動点があり、式 (6) の条件が成立します。単一系が活性化剤 - 阻害剤タイプであるという式 (8) が満たされ、式 (8) のチューリング不安定性の条件が満たされます。 (12) は、拡散結合した量子活性化剤と抑制剤のペアのペアについて満たすことができます。

チューリング不安定が発生すると、システムの自明な固定点 (0, 0, 0, 0) が不安定になり、2 つの新しい安定した固定点、

これはシステム全体の不均一な状態に対応し、超臨界熊手分岐を介して生じます。

この研究で使用したパラメーター値を使用すると、f と g の導関数は \(f_x = 0.5\)、\(f_p = -0.6\)、\(g_x = 0.6\)、\(g_p = -0.7\) になります。。図１〜図４において、図 3 と図 4 より、一様固定点の最大固有値は \(\lambda _{max} \およそ 0.3724 > 0\) です。したがって、チューリング不安定性はすでに発生しています。

一般に、n 個のリザーバと結合した N 個のモードを持つ量子散逸システムを考慮します。 \(a_1, \ldots , a_N\) と \(a_1^{\dag }, \ldots , a_N^{\dag }\) でそれぞれシステムの消滅演算子と生成演算子を表します。この量子散逸システムを記述する QME の一般形式は次のように与えられます。

ここで、 \(\rho\) はシステムの状態を表す密度演算子、 H はシステムのハミルトニアン、 \(L_{j}\) はシステムと j 番目の貯留層の間の結合演算子 \((j=1,\ldots , n)\)、および \({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L + L^{\dag } L \ rho )/2\) はリンドブラッド形式 72,73 です。

位相空間表現の標準的な方法 72,73 を使用すると、 \(W({{\varvec{\alpha }}}) \in {{\mathbb {R}}}\) のウィグナー分布 \( \rho\)として

ここで \({{\varvec{\alpha }}} = ( \alpha _1, \alpha ^*_1, \ldots , \alpha _N, \alpha ^*_N ) \in {{\mathbb {C}}}^ {2N}\) は 2N 次元の位相空間の状態変数を表します、 \(D( {\varvec{\lambda }}, {\varvec{a}}) = \exp \left( \sum _{j} (\lambda _ja a_j^{\dagger } - \lambda _j^{*} a_j) \right)\), \(d^{2N} {\varvec{\lambda }} = d \lambda _1 d \lambda ^ *_1 \ldots d \lambda _N d \lambda ^*_N\), \(\alpha _j, \alpha _j^* \in {\mathbb {C}}\), \(\lambda _j,\lambda _j^ * \in {\mathbb {C}}\)、\({}^*\) は複素共役を示します。密度演算子 \(\rho\) の QME (17) は、次のようにしてウィグナー分布 \(W({{\varvec{\alpha }}})\)72,73 の偏微分方程式に変換できます。

ここで、微分演算子 \({\mathcal {L}}_p\) は式 (1) から明示的に計算できます。 (17) 標準的な計算を使用して計算します72、73。

量子効果が比較的弱い場合、式 (1) の 2 次以上の微分項を無視することができます。 (19)。次に、位相空間変数の実数値表現 \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, \ldots , x_N, p_N)\) を \(\alpha _j = x_j + i で導入することによって) p_j\) (\(j=1, \ldots ,N\)) を使用すると、式 3 を近似できます。 (19) \(W({{\varvec{X}}})\) の半古典的 FPE による、

ここで、\({{\varvec{A}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N}\) はドリフトベクトルであり、\({{\varvec {D}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N \times 2N}\) は拡散行列を表します。上記の FPE に対応する SDE は次のように与えられます。

ここで、\({{\varvec{A}}}({{\varvec{X}}})\) は式 (1) と同じです。 (20) の行列 \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) \in {{\mathbb {R}}}^{2N}\) は \( {{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec{G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({ \varvec{X}})\)、T は行列の転置を表し、\(d{\varvec{W}} = ( dw_1, \ldots , dw_{2N}) \in {{\mathbb {R}}} ^{2N}\) は、\(k,l = 1, \) で \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) を満たす独立ウィナー過程のベクトルを表します。 ldots、2N\)。古典極限における決定論的軌道は、SDE の決定論的項、つまり \(\dot{{\varvec{X}}} = {{\varvec{A}}}({\varvec{X}} )\)。

ここでは、拡散結合した 2 つの量子活性化因子と抑制因子ユニットの量子マスター方程式 (QME) (3) から導出された近似フォッカープランク方程式 (FPE) と半古典確率微分方程式 (SDE) の明示的な形式を示します。

位相空間表現の標準的な微積分を使用することにより、次のウィグナー分布 \(W({{\varvec{\alpha }}}, t)\) の時間発展を表す次の偏微分方程式を導出できます。 \({\varvec{\alpha }} = (\alpha _1, \alpha _1^*,\alpha _2,\alpha _2^*)\) 式 (1) より (22) :

どこ

これ以降、 \(j=1\) および \({\overline{j}}=1\ の場合、 \({\overline{j}}\) は \({\overline{j}} = 2\) を意味します。 ) \(j = 2\) の場合、cc は複素共役を表します。

\(\gamma _2\) が十分に小さい半古典領域では、式の 3 次微分項は次のようになります。 (23) は無視できます 11、15、89 。二次微分項の係数は正です。したがって、式 (23) は FPE によって近似できます。

実数値表現、つまり \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, x_2, p_2)\) を \(\alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1,2)\ で使用する)、式。 (25) は次のように書き換えることができます。

どこ

したがって、ドリフトベクトルは \({\varvec{A}}({\varvec{X}}) = (A_{x_1}, A_{p_1}, A_{x_2}, A_{p_2})\) で与えられます。拡散行列 \({{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) は次のように表されます。

私たちが定義した場所

FPE (26) に対応する SDE は次のように与えられます。

ここで、 \({{\varvec{G}}}({{\varvec{X}}})\) は \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec {G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) および \(d{\varvec{W}}(t )\) \(= ( dw_1(t),\) \(dw_2(t),\) \(dw_3(t)\), \(dw_4(t))^T\) は独立したウィーナー過程のベクトルです\(k,l = 1,2,3,4\) に対して \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) を満たします。

\(D_{c} = 0\) の場合、 \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\text {diag}}\left( \sqrt{v_{ 1}/2}、\sqrt{v_{1}/2}、\sqrt{v_{2}/2}、\sqrt{v_{2}/2} \right)\)。 \(D_{c} \ne 0\) の場合、拡散行列 \({\varvec{D}}({\varvec{X}})\) は次の行列を使用して対角化できます。

として

どこ

そして

したがって、行列 \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}})\) は \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) として選択できます= {\varvec{U}}({\varvec{X}}) \sqrt{{\varvec{D}}'({\varvec{X}})} {\varvec{U}}^{-1} ({\varvec{X}})\)89、つまり、

QME に加えて、FPE (26) に対応する半古典 SDE (30) の直接数値シミュレーションも実行して、チューリング不安定後の量子状態の分布と古典的固定点の関係を示します。たとえば、補足図 S1(a) と S1(b) は、拡散結合した 2 つの量子活性化剤と阻害剤ユニットの確率的軌跡の散布図を示し、図 S1(c) はウィグナー分布 \(W(図3fのx_{1,2}、p_{1,2})\)。図１〜図４において、 S1(a) と S1(b)、ユニット 1 と 2 の状態は、量子ノイズにより確率的に 2 つの安定な固定点の間を行ったり来たりします。これらの散布図は、図 S1(c) の 2 つの安定した固定点の周囲に分布するウィグナー分布と一致します。

半古典近似の精度を使用して、非線形減衰パラメーター \(\gamma _2\) が変化するときの量子効果の程度を特徴付けます。半古典的近似と元の QME の間の不一致は、システムが量子領域にどれだけ深く入っているかを特徴付けます。対応する古典システムのパラメーターを変更しないようにするには、線形減衰パラメーターは \(\gamma _1 = \gamma _1' + 2 \gamma _2\) として選択されます。ここで \(\gamma _1'\) は定数です。他のパラメータは、以前に使用されたものと同じ値に固定されます。

図 10a、10b、10c は、両方のユニットの光子の平均数と不均一性 \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) を非線形減衰パラメータ \(\gamma の関数としてプロットしています) _2\)。ここで、光子の平均数はアンサンブル平均 \(\langle { a_j^\dag a_j }\rangle = \mathrm{Tr}\,[ a_j^\dag a_j \rho ]~(j=1,2) として計算されます。 )\) QME から取得した \(a_j^\dag a_j\) の平均 \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}}\)半古典 SDE から得られた \(\alpha _j \alpha ^*_j\) の関係。

はほぼ半古典的領域に当てはまります。半古典的結果は、 \(\gamma _2\) が小さい領域での QME の結果によく近似しており、半古典的近似による誤差は \(\gamma _2\) が増加するにつれて徐々に増加します。したがって、 \(\gamma _2 = 0.1\) (図 2、3、6c、6f、7) の場合、半古典的近似は有効であり、システムは半古典的領域にありますが、 \(\gamma _2 = 0.5 \) (図 4、6d、6g、8) および \(\gamma _2 = 3\) (図 5、6e、6h、9) では、半古典近似はもはや有効ではなく、システムは量子領域にあります。。量子効果の程度は、図10dに示すように純度によって特徴付けることもできます。純度は \(\gamma _2\) の増加とともに増加します。また、図 10e–10g には、半古典 (e)、弱い量子 (f)、および強い量子領域 ( g)。 \(\gamma _2\) が増加するにつれて、密度行列の要素がゼロ以外の値を取るエネルギーレベルが低くなり、エネルギースペクトルの離散性がより顕著になることがわかります。

量子領域の特性評価: 平均光子数、不均一性、純度、単一ユニットの密度行列の要素と \(\gamma_2\) の関係。 (a) ユニット 1 の平均光子数。 (b) ユニット 2 の平均光子数。 (c) 二乗平均平方根距離 \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) (d ) 純度 P. (e – g) 半古典 (e)、弱い量子 (f)、および強い量子領域 (g) の数基底に関する単一単位 \(\rho _1\) の密度行列の要素）。 (a–c) では、半古典 SDE \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}} - 1/2\) から得られた結果 (赤い点)および QME \(\langle {a_j^\dag a_j}\rangle\) (青い線) (\(j=1, 2\)) が表示されます。ここで、\(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j} \rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) は、初期値の後の長さ 30000 の時間間隔にわたる \(\alpha _j(t) \alpha ^*_j(t)\) の時間平均として計算されます。一時的な。パラメータは \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\)、\(\eta = 0.3\)、\(D_h = -0.99\)、\(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005) です。 \) と \(D_p = 0.995\))、および \(\gamma _{1} = \gamma '_1 + 2 \gamma _2\) と \(\gamma '_1 = 0.2\)。 (例) では、\(\gamma _2 = 0.1\) (e)、\(\gamma _2 = 0.5\) (f)、\(\gamma _2 = 3\) (g) となります。

負の値 \({\mathcal {N}} = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{1}}\right\| _{1}-1})/{2}\) を使用して、 2 つのユニットの量子もつれを定量化します。ここで、 \(\rho ^{\Gamma _{1}}\) は、ユニット 1 と 2 の 2 モードシステムの密度演算子 \(\rho\) の部分転置を表します。ユニット 1 および \(\left\| X\right\| _{1}={\text {Tr}}|X|={\text {Tr}} \sqrt{X^{\dagger } X に関して}\)97,98。ゼロ以外の負の値は、2 つのユニットが絡み合っていることを示します。負性 \(\mathcal{N}' = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{2}}\right\| _{1}-1})/{2}\) は次のように計算されることに注意してください。ユニット 2 に関して計算された負性 \(\mathcal{N}\) はユニット 1 に関して計算されたものと等しくなります。

この研究中に生成または分析されたすべてのデータは、この公開された論文とその補足情報ファイルに含まれています。

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〒041-8655 北海道はこだて未来大学複雑知能システム学科

Yuzuru Kato

東京工業大学システム制御工学科、〒152-8552 東京都

Hiroya Nakao

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両著者は研究を設計し、分析を実行し、論文の執筆に貢献しました。 YK は数値シミュレーションを実行しました。

Correspondence to Yuzuru Kato.

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガーネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

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転載と許可

加藤洋、中尾博、量子活性化剤 - 阻害剤系におけるチューリング不安定性。 Sci Rep 12、15573 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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受信日: 2022 年 4 月 7 日

受理日: 2022 年 8 月 23 日

公開日: 2022 年 9 月 16 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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